ماذا يحدث لارتفاع المخروط عند ضرب نصف القطر في 3 للمحافظة على حجم المخروط الأصلي ؟

عند ضرب نصف قطر قاعدة المخروط في 3 مع المحافظة على حجم المخروط الأصلي، فإن ارتفاع المخروط سيتغير. لتحديد التغير في الارتفاع، نستخدم العلاقة بين نصف القطر والارتفاع في صيغة حجم المخروط.

صيغة حجم المخروط:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

حيث:

• $V$ هو الحجم.
• $\mathrm{r<span\; style="font-family:\; Tahoma,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;">هو\; نصف\; القطر</span>}$
• 
  $\mathrm{h<span\; style="font-family:\; Tahoma,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;">هو\; الارتفاع.</span>}$

الخطوات:

1. حجم المخروط الأصلي: 

   $$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

2. بعد ضرب نصف القطر في 3:
   • نصف القطر الجديد: 
     $3r$ 
   • الحجم الجديد: 
     $V^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}\pi (3r{)}^2{h}^{\mathrm{\prime }}$ 
3. المحافظة على الحجم الأصلي (
   $V=V^{\mathrm{\prime }}$ 

    

   $$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (3r{)}^2{h}^{\mathrm{\prime }}$$

4. تبسيط المعادلة: 

   $$r^{2}h=9r^2{h}^{\mathrm{\prime }}$$ 

   $$h=9h^{\mathrm{\prime }}$$ 

   $$h^{\mathrm{\prime }}=\frac{h}{9}$$

النتيجة:

عند ضرب نصف القطر في 3 مع المحافظة على الحجم الأصلي، فإن الارتفاع الجديد (

$h^{\mathrm{\prime }}$

سيكون تسع الارتفاع الأصلي (

$h$

مثال تطبيقي:

إذا كان الارتفاع الأصلي

$h=18$

متر، فإن الارتفاع الجديد سيكون:

$$h^{\mathrm{\prime }}=\frac{18}{9}=2\text{ متر}$$

الخلاصة:

عند ضرب نصف القطر في 3 مع المحافظة على الحجم الأصلي، فإن الارتفاع يتناقص إلى تسع قيمته الأصلية.